Nilai Maksimum-Minimum Fungsi Dua Peubah Tanpa Kendala

Contoh soal penyelesaian

Sebuah tangki air berbentuk balok terbuat dari pelat baja yg bagian atasnya terbuka dipakai untuk penyaringan 256 meter kubik air. Berapa ukuran tangki agar memerlukan sedikit pelat baja pada pembuatannya ?

Penyelesaian :

Diket : V=256 m³

Ditanyakan : Luas permukaan ?

V= 256

p.l.t = 256

t = 256 / (p.l)

L = pl + 2pt + 2lt

Substitusi : L (p.l) = pl + (512/l) + (512 / p)

Syarat titik kritis :

L_p (p,l) = l – (512/p² ) = 0                                       l = 512/p²

L_l (p,l) = p – (512/l²) = 0                                         p = 512/l²

P = 512 / (512/p²)²                                   l = 512 / (512/l²)²                                               t = 256 / pl

 P³ = 512                                                      l³ = 512                                                                  t = 256 / (8.8)

P = 8                                                             l = 8                                                                        t = 4

Uji Optimasi

D(p,l) = (L_pp . L_ll ) – (L_pl)²

               = ( 1024/p³) . (1024/l³) – (1)²

            = 3

Karena D(p,l) > 0 dan L_pp > 0 maka L(p,l) adalah minimum lokal, sehingga memenuhi syarat

Diperoleh p = 8, l = 8, t = 4

L(p,l,t ) = 8.8 + 2.8.4 + 2.8.4

              = 192

Dapat disimpulkan ukuran tangki agar memerlukan sedikit pelat baja dalam pembuatannya adalah 192 meter persegi.

Software Animasi Matematika Diluncurkan

JAKARTA, KOMPAS.com –Piranti lunak (software)Animasi Matematika dapat mendorong semangat, meningkatkan minat, serta menghasilkan prestasi siswa dalam mata pelajaran matematika pada setiap jenjang pendidikan.

Software Animasi Matematika untuk membantu para siswa belajar matematika tersebut dikembangkan Suwato Komala, seorang dosen. Animasi Matematika diluncurkan di Jakarta, Kamis (5/7/2012) ini.

Animasi Matematika mengkombinasikan pendekatan model pembelajaran ,yang berfokus kepada siswa (student centered) dalam lingkungan pembelajaran interaktif (interactive learning environment) yang memanfaatkan kemajuan teknologi informasi (computer assisted information).

Animasi Matematika kini telah menampung lebih dari ribuan contoh soal, berikut pembahasannya, sebagai referensi siswa, sehingga dapat mendorong kemampuan belajar mandiri dan menciptakan efisiensi waktu penguasaan materi.

Tidak hanya itu, software ini juga mampu melakukan penilaian (scoring) atas hasil kerja siswa, sehingga guru dan orang tua dapat melihat langsung perkembangan siswa secara berkesinambungan.

“Selama lebih dari 30 tahun mengajar dan 15 tahun terakhir menyusun program ini, saya telah banyak menyaksikan tantangan dalam proses belajar-mengajar matematika, baik terhadap siswa, guru bahkan orang tua. Seringkali permasalahan yang dihadapi adalah pada semangat dan minat belajar siswa dan pendekatan yang diambil guru dan orang tua,” ungkap Suwato.

Animasi Matematika ini tersedia bagi semua jenjang pendidikan, mulai dari SD/MI, SMP/MTs, SMA/MA, sampai SMK (akuntansi/pariwisata/teknologi) yang mengacu pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) 2006.

Layaknya software yang banyak tersedia, software ini akan diupdate secara berkala, terutama memberikan free update soal-soal UN (ujian nasional) beberapa tahun terakhir, dan yang terbaru serta menyajikan pembahasan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut.

Cobb-Douglas

Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Salah satu model pengukuran produktivitas yang sering digunakan adalah pengukuran berdasarkan pendekatan fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu suatu fungsi atau persamaan yang melibatkan dua variabel atau lebih, variabel yang satu disebut variabel independent (Y) dan yang lain disebutvariabel dependent (X).
Cobb-Douglas itu sendiri merupakan bentuk fungsional dari fungsi produksi secara luas digunakan untuk mewakili hubungan output untuk input. Hal ini diusulkan oleh Knut Wicksell (1851-1926), dan iuji terhadap Buktistatistik oleh CharlesCobb dan Paul Douglas di 1900-1928.

Kelebihan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:
1.Bentuk fungsi produksi Cobb-Douglas bersifat sederhana dan mudah penerapannya.
2.Fungsi produksi Cobb-Douglas mampu menggambarkan keadaan skala hasil (return to scale), apakah sedang meningkat, tetap atau menurun.
3.Koefisien-koefisien fungsi produksi Cobb-Douglas secara langsung menggambarkan elastisitas produksi dari setiap input yang digunakan dan dipertimbangkan untuk dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglas itu.
4.Koefisien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglas merupakan indeks efisiensi produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi penggunaan input dalam menghasilkan output dari sistem produksi yang dikaji .

Kekurangan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:
1.Spesifikasi variabel yang keliru akan menghasilkan elastisitas produksi yang negatif atau nilainya terlalu besar atau terlalu kecil.

2.Kesalahan pengukuran variabel ini terletak pada validitas data, apakah data yang dipakai sudah benar, terlalu ekstrim ke atas atau sebaliknya. Kesalahan pengukuran ini akan menyebabkan besaran elastisitas menjadi terlalu tinggi atau terlalu rendah.

3.Dalam praktek, faktor manajemen merupakan faktor yang juga penting untuk meningkatkan produksi, tetapi variabel ini kadang-kadang terlalu sulit diukur dan dipakai dalam variabel independent dalam pendugaan fungsi produksi Cobb-Douglas.

Rumus fungsi produksi

Y = AL ^α K ^β

Keterangan :

1.Y = total produksi (nilai moneter semua barang yang diproduksi dalam setahun)
2.L = tenaga kerja input
3.K = modal input
4.A = produktivitas faktor tota α dan β adalah elastisitas output dari tenaga kerja dan modal, masing-masing. Nilai-nilai konstan ditentukan oleh teknologi yang tersedia.

Bentuk umum fungsi produksi Cobb-Douglas adalah:
Q = δ.I ^α

Keterangan :
Q = Output
I = Jenis input yang digunakan dalam proses produksi dan dipertimbangkan untuk dikaji
δ = indeks efisiensi penggunaan input dalam menghasilkanoutput
α = elastisitas produksi dari input yang digunakan

APLIKASI BENTUK HIPERBOLA

Ø  Angle Trisection

Hiperbola dapat digunakan untuk membagi tiga sudut manapun, seperti yang telah ditunjukkan pertama kali oleh Apollonius dari Perga dalam masalah intens pembelajaran geometri. Mengingat sudut, yang pertama menarik lingkaran berpusat pada titik O tengahnya, yang memotong kaki sudut pada titik A dan B. Selanjutnya menarik garis melalui A dan B, dan membangun sebuah hiperbola dari eksentrisitas ε = 2 dengan garis yang sebagai sumbu transversal dan B sebagai salah satu fokus. Direktriks dari hiperbola adalah garis-bagi AB, dan untuk setiap titik P pada hiperbola, dengan sudut  ABP dua kali lebih besar sebagai BAP sudut. Misalkan P menjadi titik pada lingkaran. Dengan teorema sudut tertulis, sudut pusat terkait yang juga terkait dengan faktor dua, AOP = 2 × POB. Tapi AOP + POB sama dengan sudut AOB aslinya. Oleh karena itu, sudut telah terbagi tiga, sejak 3 × POB = AOB.

Ø  Sundials

Hiperbola dapat dilihat dalam jam matahari (sundials). Pada hari tertentu, matahari berputar dalam lingkaran pada bola samawi (celestial sphere), dan keluar sinar dari titik pada jejak matahari berbentuk kerucut. Perpotongan kerucut dengan bidang horizontal dari tanah membentuk bagian berbentuk kerucut. Bagian ini merupakan kerucut hiperbola. Dalam istilah praktis, bayangan ujung tiang jejak sebuah hiperbola di tanah selama satu hari (jalan ini disebut garis deklinasi). Bentuk hiperbola ini bervariasi bergantung pada lintang geografis dan dengan waktu tahun, karena faktor-faktor tersebut mempengaruhi kerucut sinar matahari relatif terhadap cakrawala. Pengumpulan hiperbola tersebut selama satu tahun di lokasi tertentu yang disebut pelekinon oleh orang Yunani, karena menyerupai kapak ganda berbilah.

Ø  Trilateration

Hiperbola adalah dasar untuk memecahkan masalah Trilateration, tugas mencari titik dari perbedaan jarak untuk poin yang diberikan - atau, sama, perbedaan waktu kedatangan sinyal disinkronisasi antara titik yang diketahui dan titik-titik yang diberikan. Masalah tersebut penting dalam navigasi, terutama di atas air, kapal dapat menemukan posisinya dari perbedaan waktu kedatangan sinyal dari pemancar LORAN atau GPS. Sebaliknya, sebuah mercusuar merpati atau pemancar pun dapat ditemukan dengan membandingkan waktu kedatangan sinyal di dua stasiun penerima terpisah, teknik tersebut dapat digunakan untuk melacak benda-benda dan orang-orang. Secara khusus, himpunan kemungkinan posisi titik yang memiliki perbedaan jarak 2a dari dua poin yang diberikan adalah hiperbola dari 2a pemisahan titik yang fokus adalah dua poin yang diberikan.

Ø  Persamaan Korteweg-de Vries

Persamaan Kadomtshev-Petviashvilli dan persamaan Korteweg-de Vries menunjukkan fungsi trigonometri hiperbolik   muncul sebagai salah satu solusi untuk persamaannya yang menggambarkan gerakan gelombang soliton di kanal, gelombang laut dangkal, gelombang Rossby atmosfer dan jaringan transmisi listrik.

Ø  Path followed by a particle

Jalan yang diikuti oleh partikel dalam masalah Kepler klasik adalah bagian berbentuk kerucut. Secara khusus, jika E energi total dari partikel lebih besar dari nol (yaitu, jika partikel tidak terikat), jalan partikel tersebut adalah hiperbola. Properti ini berguna dalam mempelajari kekuatan atom dan sub-atom oleh hamburan partikel berenergi tinggi, misalnya, percobaan Rutherford menunjukkan adanya inti atom dengan memeriksa hamburan partikel alpha dari atom emas. Jika jarak pendek interaksi nuklir diabaikan, inti atom dan partikel alpha berinteraksi hanya dengan gaya tolak Coulomb, yang memenuhi persyaratan hukum terbalik persegi untuk masalah Kepler.

Ø  Perbatasan Efisien dalam Teori Portofolio

Dalam teori portofolio, lokus dari rata-rata variansi (mean-variance) portofolio yang efisien (disebut perbatasan yang efisien) adalah bagian atas dari cabang timur-pembukaan hiperbola digambarkan sebagai standar deviasi pengembalian (return) portofolio diplot horizontal dan nilai yang diharapkan diplot secara vertikal, sesuai dengan teori ini, semua investor yang rasional akan memilih portofolio yang ditandai oleh beberapa titik pada lokus ini karena bebas resiko.

APLIKASI BENTUK HIPERBOLA

Ø  Angle Trisection

Hiperbola dapat digunakan untuk membagi tiga sudut manapun, seperti yang telah ditunjukkan pertama kali oleh Apollonius dari Perga dalam masalah intens pembelajaran geometri. Mengingat sudut, yang pertama menarik lingkaran berpusat pada titik O tengahnya, yang memotong kaki sudut pada titik A dan B. Selanjutnya menarik garis melalui A dan B, dan membangun sebuah hiperbola dari eksentrisitas ε = 2 dengan garis yang sebagai sumbu transversal dan B sebagai salah satu fokus. Direktriks dari hiperbola adalah garis-bagi AB, dan untuk setiap titik P pada hiperbola, dengan sudut  ABP dua kali lebih besar sebagai BAP sudut. Misalkan P menjadi titik pada lingkaran. Dengan teorema sudut tertulis, sudut pusat terkait yang juga terkait dengan faktor dua, AOP = 2 × POB. Tapi AOP + POB sama dengan sudut AOB aslinya. Oleh karena itu, sudut telah terbagi tiga, sejak 3 × POB = AOB.

Ø  Sundials

Hiperbola dapat dilihat dalam jam matahari (sundials). Pada hari tertentu, matahari berputar dalam lingkaran pada bola samawi (celestial sphere), dan keluar sinar dari titik pada jejak matahari berbentuk kerucut. Perpotongan kerucut dengan bidang horizontal dari tanah membentuk bagian berbentuk kerucut. Bagian ini merupakan kerucut hiperbola. Dalam istilah praktis, bayangan ujung tiang jejak sebuah hiperbola di tanah selama satu hari (jalan ini disebut garis deklinasi). Bentuk hiperbola ini bervariasi bergantung pada lintang geografis dan dengan waktu tahun, karena faktor-faktor tersebut mempengaruhi kerucut sinar matahari relatif terhadap cakrawala. Pengumpulan hiperbola tersebut selama satu tahun di lokasi tertentu yang disebut pelekinon oleh orang Yunani, karena menyerupai kapak ganda berbilah.

Ø  Trilateration

Hiperbola adalah dasar untuk memecahkan masalah Trilateration, tugas mencari titik dari perbedaan jarak untuk poin yang diberikan - atau, sama, perbedaan waktu kedatangan sinyal disinkronisasi antara titik yang diketahui dan titik-titik yang diberikan. Masalah tersebut penting dalam navigasi, terutama di atas air, kapal dapat menemukan posisinya dari perbedaan waktu kedatangan sinyal dari pemancar LORAN atau GPS. Sebaliknya, sebuah mercusuar merpati atau pemancar pun dapat ditemukan dengan membandingkan waktu kedatangan sinyal di dua stasiun penerima terpisah, teknik tersebut dapat digunakan untuk melacak benda-benda dan orang-orang. Secara khusus, himpunan kemungkinan posisi titik yang memiliki perbedaan jarak 2a dari dua poin yang diberikan adalah hiperbola dari 2a pemisahan titik yang fokus adalah dua poin yang diberikan.

Ø  Persamaan Korteweg-de Vries

Persamaan Kadomtshev-Petviashvilli dan persamaan Korteweg-de Vries menunjukkan fungsi trigonometri hiperbolik   muncul sebagai salah satu solusi untuk persamaannya yang menggambarkan gerakan gelombang soliton di kanal, gelombang laut dangkal, gelombang Rossby atmosfer dan jaringan transmisi listrik.

Ø  Path followed by a particle

Jalan yang diikuti oleh partikel dalam masalah Kepler klasik adalah bagian berbentuk kerucut. Secara khusus, jika E energi total dari partikel lebih besar dari nol (yaitu, jika partikel tidak terikat), jalan partikel tersebut adalah hiperbola. Properti ini berguna dalam mempelajari kekuatan atom dan sub-atom oleh hamburan partikel berenergi tinggi, misalnya, percobaan Rutherford menunjukkan adanya inti atom dengan memeriksa hamburan partikel alpha dari atom emas. Jika jarak pendek interaksi nuklir diabaikan, inti atom dan partikel alpha berinteraksi hanya dengan gaya tolak Coulomb, yang memenuhi persyaratan hukum terbalik persegi untuk masalah Kepler.

Ø  Perbatasan Efisien dalam Teori Portofolio

Dalam teori portofolio, lokus dari rata-rata variansi (mean-variance) portofolio yang efisien (disebut perbatasan yang efisien) adalah bagian atas dari cabang timur-pembukaan hiperbola digambarkan sebagai standar deviasi pengembalian (return) portofolio diplot horizontal dan nilai yang diharapkan diplot secara vertikal, sesuai dengan teori ini, semua investor yang rasional akan memilih portofolio yang ditandai oleh beberapa titik pada lokus ini karena bebas resiko.

Apollonius

(262 SM – 190 SM)

Riwayat

Tidak banyak informasi tentang Apollonius dari Perga yang lazim disebut dengan pakar pengukur tanah (geometer) terbesar. Namun karya-karyanya membawa dampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips dan hiperbola.

Disebut dengan kerucut karena irisan dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas. Masa mudanya tidak terlalu jelas, tapi diketahui bahwa dia mengalami masa pemerintahan Ptolemy Euergetes, Ptolemy Philopatus; ada laporan yang menyebut bahwa Apollonius adalah pengikut Ptolemy Philadelphus. Umurnya lebih kurang 25 – 40 tahun lebih muda dibandingkan dengan Archimedes.

Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada jaman itu, Perga adalah pusat kebudayaan dan lokasi kuil Artemis, dewi alam. Saat muda usia Apollonius pergi ke Alexandria dimana dia belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclid sebelum mengajar di sana. Kemudian, Apollonius pergi ke Pergamun di mana di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar untuk menyaingi perpustakaan besar di Alexandria sedang dalam tahap pembangunan. Pergamum saat ini tidak lain merupakan nama lain dari kota Bergama terletak pada propinsi Izmir di Turki, adalah kota Yunani kuno. Dengan lokasi pada 25 km dari laut Aegean pada perbukitan sebelah utara lembah sungai Caicus (sekarang disebut dengan sungai Bakir).

Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum. Prakiraan ini diawali dari kata pengantar buku Apollonius yang menunjukkan rasa hormat dan sembah takzim kepada Attalus.

Karya-karya yang hilang

Karya-karya Apollonius banyak yang hilang. Skema bilangan dari Apollonius barangkali adalah salah satu yang terselamatkan dari bagian terakhir buku II berjudul Kumpulan Matematikal (Mathematical Collections) dari Pappus (Semua buku I dan awal buku II hilang). Apollonius juga menulis Cara Cepat (Quick Delivery) yang berisikan pengajaran tentang tip-tip atau teknik-teknik penghitungan cepat. Diketahui bahwa karya-karya Apollonius yang hilang seperti: penjabaran nisbah/ratio (Cutting-off Ratio); penjabaran luas (cutting-off of an area); seksi penentu (On Determinate Section); Tangen; titik potong (vergings) dan Plane Loci. 

Dari gambaran yang ditulis dari karya-karya Pappus dan para pendahulunya, muncul gagasan, pada abad ke-17, untuk merekonstruksi buku-buku geometri karya matematikawan Yunani kuno yang hilang, dimana makalah karya Apollonius adalah salah satu diantaranya. Kelak karya Apollonius ditemukan oleh para bangsawan Perancis (termasuk Fermat) pada abad 17 yang memberi pengaruh besar bagi para matematikawan Perancis pada umumnya dan Fermat pada khususnya.

Karya puncak, Conics (kerucut)

Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.

Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.

Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.

Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.

Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut.

Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.

Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.

Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.

Asal-usul nama

Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang. Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih. Parabola yang artinya di samping atau pembanding) tidak mengindikasikan lebih atau kurang. Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.

* Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.

Sumbangsih

Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes – setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya.