tag:blogger.com,1999:blog-90999819426942828042024-03-08T09:17:33.190-08:00ABOUT MATHEMATICScessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.comBlogger6125tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-27376576266380528882012-10-30T05:43:00.003-07:002013-07-08T09:25:52.886-07:00Nilai Maksimum-Minimum Fungsi Dua Peubah Tanpa Kendala<br />
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; font-size: large;"><span style="line-height: 27px;"><b><br /></b></span></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<b><span style="color: #365f91; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Contoh
soal penyelesaian <o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<b><span style="color: #365f91; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Sebuah
tangki air berbentuk balok terbuat dari pelat baja yg bagian atasnya terbuka
dipakai untuk penyaringan 256 meter kubik air. Berapa ukuran tangki agar
memerlukan sedikit pelat baja pada pembuatannya ?<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Penyelesaian
:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Diket
: V=256 m<sup>3 </sup><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Ditanyakan
: Luas permukaan ?<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">V=
256<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">p.l.t
= 256<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">t =
256 / (p.l)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">L =
pl + 2pt + 2lt<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Substitusi
: L (p.l) = pl + (512/l) + (512 / p)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Syarat
titik kritis :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">L<sub>p
</sub>(p,l) = l – (512/p<sup>2 </sup>) = 0 l
= 512/p<sup>2</sup><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">L<sub>l</sub>
(p,l) = p – (512/l<sup>2</sup>) = 0 p
= 512/l<sup>2</sup><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">P =
512 / (512/p<sup>2</sup>)<sup>2 </sup> l = 512 /
(512/l<sup>2</sup>)<sup>2</sup> t
= 256 / pl<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"> P<sup>3</sup> = 512 l<sup>3 </sup>=
512 t
= 256 / (8.8)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">P =
8 l
= 8 t
= 4<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Uji
Optimasi<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">D(p,l)
= (L<sub>pp </sub>. L<sub>ll </sub>) – (L<sub>pl</sub>)<sup>2<o:p></o:p></sup></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<sup><span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"> </span></sup><span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"> = ( 1024/p<sup>3</sup>) . (1024/l<sup>3</sup>)
– (1)<sup>2</sup><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">
= 3<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Karena
D(p,l) > 0 dan L<sub>pp</sub> > 0 maka L(p,l) adalah minimum lokal,
sehingga memenuhi syarat<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Diperoleh
p = 8, l = 8, t = 4<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">L(p,l,t
) = 8.8 + 2.8.4 + 2.8.4<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">
= 192<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<span style="color: #365f91; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;">Dapat disimpulkan
ukuran tangki agar memerlukan sedikit pelat baja dalam pembuatannya adalah 192
meter persegi.<o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 21.3pt; mso-add-space: auto;">
<b><span style="color: #365f91; font-size: 18.0pt; line-height: 115%; mso-themecolor: accent1; mso-themeshade: 191;"><br /></span></b></div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-66989335741495085132012-10-26T06:40:00.000-07:002012-10-30T07:05:16.814-07:00Software Animasi Matematika Diluncurkan<br />
<div style="background: white; line-height: 11.25pt; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<br />
<div style="background: #B8CCE4; line-height: 11.25pt; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm; mso-background-themecolor: accent1; mso-background-themetint: 102; text-align: justify;">
<strong><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">JAKARTA, KOMPAS.com –</span></strong><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Piranti lunak (software)<em style="outline: none;">Animasi
Matematika</em><span class="apple-converted-space"><i> </i></span>dapat
mendorong semangat, meningkatkan minat, serta menghasilkan prestasi siswa dalam
mata pelajaran matematika pada setiap jenjang pendidikan.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; outline: none;">
<span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Software<span class="apple-converted-space"> </span><em style="outline: none;">Animasi
Matematika</em><span class="apple-converted-space"> </span>untuk
membantu para siswa belajar matematika tersebut dikembangkan Suwato Komala,
seorang dosen.<span class="apple-converted-space"> </span><em style="outline: none;">Animasi
Matematika</em><span class="apple-converted-space"> </span>diluncurkan
di Jakarta, Kamis (5/7/2012) ini.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; outline: none;">
<em style="outline: none;"><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Animasi Matematika</span></em><span class="apple-converted-space"><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;"> </span></span><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">mengkombinasikan pendekatan model
pembelajaran ,yang berfokus kepada siswa (<em style="outline: none;">student centered</em>) dalam
lingkungan pembelajaran interaktif (<em style="outline: none;">interactive learning environment</em>)
yang memanfaatkan kemajuan teknologi informasi (<em style="outline: none;">computer assisted information</em>).<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; outline: none;">
<em style="outline: none;"><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Animasi Matematika</span></em><span class="apple-converted-space"><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;"> </span></span><span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">kini telah menampung lebih dari
ribuan contoh soal, berikut pembahasannya, sebagai referensi siswa, sehingga
dapat mendorong kemampuan belajar mandiri dan menciptakan efisiensi waktu
penguasaan materi.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; outline: none;">
<span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Tidak hanya itu, software ini juga mampu melakukan
penilaian (<em style="outline: none;">scoring</em>)
atas hasil kerja siswa, sehingga guru dan orang tua dapat melihat langsung
perkembangan siswa secara berkesinambungan.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 3.75pt 0cm; outline: none;">
<span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">“Selama lebih dari 30
tahun mengajar dan 15 tahun terakhir menyusun program ini, saya telah banyak
menyaksikan tantangan dalam proses belajar-mengajar matematika, baik terhadap
siswa, guru bahkan orang tua. Seringkali permasalahan yang dihadapi adalah pada
semangat dan minat belajar siswa dan pendekatan yang diambil guru dan orang
tua,” ungkap Suwato.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 3.75pt 0cm; outline: none;">
<span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Animasi Matematika ini
tersedia bagi semua jenjang pendidikan, mulai dari SD/MI, SMP/MTs, SMA/MA,
sampai SMK (akuntansi/pariwisata/teknologi) yang mengacu pada Kurikulum Tingkat
Satuan Pendidikan (KTSP) 2006.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background-color: #b8cce4; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; line-height: 11.25pt; margin: 0cm 0cm 0.0001pt; outline: none;">
<span style="color: #984806; font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 11.0pt; mso-themecolor: accent6; mso-themeshade: 128;">Layaknya software yang banyak tersedia, software ini akan
diupdate secara berkala, terutama memberikan<span class="apple-converted-space"> </span><em style="outline: none;">free
update</em><span class="apple-converted-space"> </span>soal-soal UN
(ujian nasional) beberapa tahun terakhir, dan yang terbaru serta menyajikan
pembahasan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut.<o:p></o:p></span></div>
</div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-3134639423909775662012-10-23T09:05:00.003-07:002012-10-23T09:05:25.862-07:00Cobb-Douglas<br />
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
<b>Fungsi Produksi Cobb-Douglas</b><br />Salah satu model pengukuran produktivitas yang sering digunakan adalah pengukuran berdasarkan pendekatan fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu suatu fungsi atau persamaan yang melibatkan dua variabel atau lebih, variabel yang satu disebut variabel independent (Y) dan yang lain disebutvariabel dependent (X).<br />Cobb-Douglas itu sendiri merupakan bentuk fungsional dari fungsi produksi secara luas digunakan untuk mewakili hubungan output untuk input. Hal ini diusulkan oleh Knut Wicksell (1851-1926), dan iuji terhadap Buktistatistik oleh CharlesCobb dan Paul Douglas di 1900-1928.</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
<b>Kelebihan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:</b><br />1.Bentuk fungsi produksi Cobb-Douglas bersifat sederhana dan mudah penerapannya.<br />2.Fungsi produksi Cobb-Douglas mampu menggambarkan keadaan skala hasil (return to scale), apakah sedang meningkat, tetap atau menurun.<br />3.Koefisien-koefisien fungsi produksi Cobb-Douglas secara langsung menggambarkan elastisitas produksi dari setiap input yang digunakan dan dipertimbangkan untuk dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglas itu.<br />4.Koefisien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglas merupakan indeks efisiensi produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi penggunaan input dalam menghasilkan output dari sistem produksi yang dikaji .</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
<b>Kekurangan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:</b><br />1.Spesifikasi variabel yang keliru akan menghasilkan elastisitas produksi yang negatif atau nilainya terlalu besar atau terlalu kecil.</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
2.Kesalahan pengukuran variabel ini terletak pada validitas data, apakah data yang dipakai sudah benar, terlalu ekstrim ke atas atau sebaliknya. Kesalahan pengukuran ini akan menyebabkan besaran elastisitas menjadi terlalu tinggi atau terlalu rendah.</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
3.Dalam praktek, faktor manajemen merupakan faktor yang juga penting untuk meningkatkan produksi, tetapi variabel ini kadang-kadang terlalu sulit diukur dan dipakai dalam variabel independent dalam pendugaan fungsi produksi Cobb-Douglas.</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
Rumus fungsi produksi</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt; line-height: 115%;">Y = AL <sup>α</sup> K <sup>β</sup></span></b></div>
<br />
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
Keterangan :</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
1.Y = total produksi (nilai moneter semua barang yang diproduksi dalam setahun)<br />2.L = tenaga kerja input<br />3.K = modal input<br />4.A = produktivitas faktor tota α dan β adalah elastisitas output dari tenaga kerja dan modal, masing-masing. Nilai-nilai konstan ditentukan oleh teknologi yang tersedia.</div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
Bentuk umum fungsi produksi Cobb-Douglas adalah:<br /><b>Q = δ.I </b><b><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 9pt; line-height: 13px;"><sup>α</sup></span></b></div>
<div style="background-color: #f2f2f2; color: #666666; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 24px; margin-bottom: 1em; padding: 0px;">
Keterangan :<br />Q = Output<br />I = Jenis input yang digunakan dalam proses produksi dan dipertimbangkan untuk dikaji<br />δ = indeks efisiensi penggunaan input dalam menghasilkanoutput<br />α = elastisitas produksi dari input yang digunakan</div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-71038033980638766312012-10-15T08:39:00.010-07:002012-10-15T08:39:58.779-07:00APLIKASI BENTUK HIPERBOLA<br />
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Angle
Trisection<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola dapat digunakan untuk membagi
tiga sudut manapun, seperti yang telah ditunjukkan pertama kali oleh Apollonius
dari Perga dalam masalah intens pembelajaran geometri. Mengingat sudut, yang
pertama menarik lingkaran berpusat pada titik O tengahnya, yang memotong kaki sudut
pada titik A dan B. Selanjutnya menarik garis melalui A dan B, dan membangun
sebuah hiperbola dari eksentrisitas ε = 2 dengan garis yang sebagai sumbu
transversal dan B sebagai salah satu fokus. Direktriks dari hiperbola adalah
garis-bagi AB, dan untuk setiap titik P pada hiperbola, dengan sudut ABP dua kali lebih besar sebagai BAP sudut.
Misalkan P menjadi titik pada lingkaran. Dengan teorema sudut tertulis, sudut
pusat terkait yang juga terkait dengan faktor dua, AOP = 2 × POB. Tapi AOP +
POB sama dengan sudut AOB aslinya. Oleh karena itu, sudut telah terbagi tiga,
sejak 3 × POB = AOB.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Sundials<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola dapat dilihat dalam jam matahari
(sundials). Pada hari tertentu, matahari berputar dalam lingkaran pada bola
samawi (celestial sphere), dan keluar sinar dari titik pada jejak matahari berbentuk
kerucut. Perpotongan kerucut dengan bidang horizontal dari tanah membentuk bagian
berbentuk kerucut. Bagian ini merupakan kerucut hiperbola. Dalam istilah
praktis, bayangan ujung tiang jejak sebuah hiperbola di tanah selama satu hari
(jalan ini disebut garis deklinasi). Bentuk hiperbola ini bervariasi bergantung
pada lintang geografis dan dengan waktu tahun, karena faktor-faktor tersebut
mempengaruhi kerucut sinar matahari relatif terhadap cakrawala. Pengumpulan
hiperbola tersebut selama satu tahun di lokasi tertentu yang disebut pelekinon
oleh orang Yunani, karena menyerupai kapak ganda berbilah.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Trilateration<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola adalah dasar untuk memecahkan
masalah Trilateration, tugas mencari titik dari perbedaan jarak untuk poin yang
diberikan - atau, sama, perbedaan waktu kedatangan sinyal disinkronisasi antara
titik yang diketahui dan titik-titik yang diberikan. Masalah tersebut penting
dalam navigasi, terutama di atas air, kapal dapat menemukan posisinya dari
perbedaan waktu kedatangan sinyal dari pemancar LORAN atau GPS. Sebaliknya,
sebuah mercusuar merpati atau pemancar pun dapat ditemukan dengan membandingkan
waktu kedatangan sinyal di dua stasiun penerima terpisah, teknik tersebut dapat
digunakan untuk melacak benda-benda dan orang-orang. Secara khusus, himpunan
kemungkinan posisi titik yang memiliki perbedaan jarak 2a dari dua poin yang
diberikan adalah hiperbola dari 2a pemisahan titik yang fokus adalah dua poin
yang diberikan.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Persamaan
Korteweg-de Vries<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Persamaan
Kadomtshev-Petviashvilli dan persamaan Korteweg-de Vries menunjukkan f</span>ungsi
trigonometri hiperbolik <span class="apple-converted-space"><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> </span></span><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="Picture_x0020_6" o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75"
alt="\operatorname{sech}\, x" style='width:39.75pt;height:11.25pt;
visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
<v:imagedata src="file:///C:\Users\HP\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"
o:title=", x"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img alt="\operatorname{sech}\, x" height="15" src="file:///C:/Users/HP/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif" v:shapes="Picture_x0020_6" width="53" /><!--[endif]--><span class="apple-converted-space"><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> </span></span>muncul
sebagai salah satu solusi untuk persamaannya yang menggambarkan gerakan
gelombang soliton di kanal, <span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;">gelombang laut
dangkal, gelombang Rossby atmosfer dan jaringan transmisi listrik.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Path
followed by a particle<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Jalan yang diikuti oleh partikel dalam
masalah Kepler klasik adalah bagian berbentuk kerucut. Secara khusus, jika E
energi total dari partikel lebih besar dari nol (yaitu, jika partikel tidak
terikat), jalan partikel tersebut adalah hiperbola. Properti ini berguna dalam
mempelajari kekuatan atom dan sub-atom oleh hamburan partikel berenergi tinggi,
misalnya, percobaan Rutherford menunjukkan adanya inti atom dengan memeriksa
hamburan partikel alpha dari atom emas. Jika jarak pendek interaksi nuklir
diabaikan, inti atom dan partikel alpha berinteraksi hanya dengan gaya tolak Coulomb,
yang memenuhi persyaratan hukum terbalik persegi untuk masalah Kepler.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Perbatasan
Efisien dalam Teori Portofolio<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast">
Dalam teori portofolio, lokus dari rata-rata
variansi (mean-variance) portofolio yang efisien (disebut perbatasan yang efisien)
adalah bagian atas dari cabang timur-pembukaan hiperbola digambarkan sebagai
standar deviasi pengembalian (return) portofolio diplot horizontal dan nilai
yang diharapkan diplot secara vertikal, sesuai dengan teori ini, semua investor
yang rasional akan memilih portofolio yang ditandai oleh beberapa titik pada
lokus ini karena bebas resiko.</div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-84873857506684241552012-10-15T08:39:00.005-07:002013-07-08T09:25:32.455-07:00<br />
<div class="MsoNormal">
APLIKASI BENTUK HIPERBOLA</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Angle
Trisection<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola dapat digunakan untuk membagi
tiga sudut manapun, seperti yang telah ditunjukkan pertama kali oleh Apollonius
dari Perga dalam masalah intens pembelajaran geometri. Mengingat sudut, yang
pertama menarik lingkaran berpusat pada titik O tengahnya, yang memotong kaki sudut
pada titik A dan B. Selanjutnya menarik garis melalui A dan B, dan membangun
sebuah hiperbola dari eksentrisitas ε = 2 dengan garis yang sebagai sumbu
transversal dan B sebagai salah satu fokus. Direktriks dari hiperbola adalah
garis-bagi AB, dan untuk setiap titik P pada hiperbola, dengan sudut ABP dua kali lebih besar sebagai BAP sudut.
Misalkan P menjadi titik pada lingkaran. Dengan teorema sudut tertulis, sudut
pusat terkait yang juga terkait dengan faktor dua, AOP = 2 × POB. Tapi AOP +
POB sama dengan sudut AOB aslinya. Oleh karena itu, sudut telah terbagi tiga,
sejak 3 × POB = AOB.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Sundials<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola dapat dilihat dalam jam matahari
(sundials). Pada hari tertentu, matahari berputar dalam lingkaran pada bola
samawi (celestial sphere), dan keluar sinar dari titik pada jejak matahari berbentuk
kerucut. Perpotongan kerucut dengan bidang horizontal dari tanah membentuk bagian
berbentuk kerucut. Bagian ini merupakan kerucut hiperbola. Dalam istilah
praktis, bayangan ujung tiang jejak sebuah hiperbola di tanah selama satu hari
(jalan ini disebut garis deklinasi). Bentuk hiperbola ini bervariasi bergantung
pada lintang geografis dan dengan waktu tahun, karena faktor-faktor tersebut
mempengaruhi kerucut sinar matahari relatif terhadap cakrawala. Pengumpulan
hiperbola tersebut selama satu tahun di lokasi tertentu yang disebut pelekinon
oleh orang Yunani, karena menyerupai kapak ganda berbilah.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Trilateration<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Hiperbola adalah dasar untuk memecahkan
masalah Trilateration, tugas mencari titik dari perbedaan jarak untuk poin yang
diberikan - atau, sama, perbedaan waktu kedatangan sinyal disinkronisasi antara
titik yang diketahui dan titik-titik yang diberikan. Masalah tersebut penting
dalam navigasi, terutama di atas air, kapal dapat menemukan posisinya dari
perbedaan waktu kedatangan sinyal dari pemancar LORAN atau GPS. Sebaliknya,
sebuah mercusuar merpati atau pemancar pun dapat ditemukan dengan membandingkan
waktu kedatangan sinyal di dua stasiun penerima terpisah, teknik tersebut dapat
digunakan untuk melacak benda-benda dan orang-orang. Secara khusus, himpunan
kemungkinan posisi titik yang memiliki perbedaan jarak 2a dari dua poin yang
diberikan adalah hiperbola dari 2a pemisahan titik yang fokus adalah dua poin
yang diberikan.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Persamaan
Korteweg-de Vries<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Persamaan
Kadomtshev-Petviashvilli dan persamaan Korteweg-de Vries menunjukkan f</span>ungsi
trigonometri hiperbolik <span class="apple-converted-space"><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> </span></span><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="Picture_x0020_6" o:spid="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75"
alt="\operatorname{sech}\, x" style='width:39.75pt;height:11.25pt;
visibility:visible;mso-wrap-style:square'>
<v:imagedata src="file:///C:\Users\HP\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"
o:title=", x"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img alt="\operatorname{sech}\, x" height="90" src="file:///C:/Users/HP/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif" v:shapes="Picture_x0020_6" width="320" /><!--[endif]--><span class="apple-converted-space"><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> </span></span>muncul
sebagai salah satu solusi untuk persamaannya yang menggambarkan gerakan
gelombang soliton di kanal, <span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Arial, sans-serif; font-size: 10pt; line-height: 115%;">gelombang laut
dangkal, gelombang Rossby atmosfer dan jaringan transmisi listrik.</span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Path
followed by a particle<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
Jalan yang diikuti oleh partikel dalam
masalah Kepler klasik adalah bagian berbentuk kerucut. Secara khusus, jika E
energi total dari partikel lebih besar dari nol (yaitu, jika partikel tidak
terikat), jalan partikel tersebut adalah hiperbola. Properti ini berguna dalam
mempelajari kekuatan atom dan sub-atom oleh hamburan partikel berenergi tinggi,
misalnya, percobaan Rutherford menunjukkan adanya inti atom dengan memeriksa
hamburan partikel alpha dari atom emas. Jika jarak pendek interaksi nuklir
diabaikan, inti atom dan partikel alpha berinteraksi hanya dengan gaya tolak Coulomb,
yang memenuhi persyaratan hukum terbalik persegi untuk masalah Kepler.</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: Wingdings; mso-bidi-font-family: Wingdings; mso-fareast-font-family: Wingdings;">Ø<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><b>Perbatasan
Efisien dalam Teori Portofolio<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast">
Dalam teori portofolio, lokus dari rata-rata
variansi (mean-variance) portofolio yang efisien (disebut perbatasan yang efisien)
adalah bagian atas dari cabang timur-pembukaan hiperbola digambarkan sebagai
standar deviasi pengembalian (return) portofolio diplot horizontal dan nilai
yang diharapkan diplot secara vertikal, sesuai dengan teori ini, semua investor
yang rasional akan memilih portofolio yang ditandai oleh beberapa titik pada
lokus ini karena bebas resiko.</div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9099981942694282804.post-876799068266240112012-10-15T06:29:00.001-07:002012-10-15T06:29:16.211-07:00Apollonius<br />
<h1 class="title" style="background-color: #e7e9eb; color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 2.4em; line-height: 22px; margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; text-align: left; text-shadow: rgb(255, 255, 255) 0px 1px 0px;">
<strong style="color: #333333; font-size: 1em;"><span style="font-size: small;">Apollonius</span></strong></h1>
<div class="entry single" style="background-color: #e7e9eb; margin: 0px; padding-bottom: 15px; text-align: left;">
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
<span style="color: #333333;"><span style="font-size: 1em;">(262 SM – 190 SM)</span></span></div>
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
<span style="color: #333333;"><strong>Riwayat</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Tidak banyak informasi tentang Apollonius dari Perga yang lazim disebut dengan pakar pengukur tanah (geometer) terbesar. Namun karya-karyanya membawa dampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips dan hiperbola.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Disebut dengan kerucut karena irisan dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas. Masa mudanya tidak terlalu jelas, tapi diketahui bahwa dia mengalami masa pemerintahan Ptolemy Euergetes, Ptolemy Philopatus; ada laporan yang menyebut bahwa Apollonius adalah pengikut Ptolemy Philadelphus. Umurnya lebih kurang 25 – 40 tahun lebih muda dibandingkan dengan Archimedes.</span></div>
<br />
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #333333; font-size: 1em;">Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada jaman itu, Perga adalah pusat kebudayaan dan lokasi kuil Artemis, dewi alam. Saat muda usia Apollonius pergi ke Alexandria dimana dia belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclid sebelum mengajar di sana. Kemudian, Apollonius pergi ke Pergamun di mana di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar untuk menyaingi perpustakaan besar di Alexandria sedang dalam tahap pembangunan. Pergamum saat ini tidak lain merupakan nama lain dari kota Bergama terletak pada propinsi Izmir di Turki, adalah kota Yunani kuno. Dengan lokasi pada 25 km dari laut Aegean pada perbukitan sebelah utara lembah sungai Caicus (sekarang disebut dengan sungai Bakir).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #333333; font-size: 1em;"><br /></span></div>
<span style="color: #333333;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum. Prakiraan ini diawali dari kata pengantar buku Apollonius yang menunjukkan rasa hormat dan sembah takzim kepada Attalus.</span></div>
</span><br />
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong style="color: #333333; font-size: 1em;">Karya-karya yang hilang</strong></div>
<span style="color: #333333;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Karya-karya Apollonius banyak yang hilang. Skema bilangan dari Apollonius barangkali adalah salah satu yang terselamatkan dari bagian terakhir buku II berjudul Kumpulan Matematikal (Mathematical Collections) dari Pappus (Semua buku I dan awal buku II hilang). Apollonius juga menulis Cara Cepat (Quick Delivery) yang berisikan pengajaran tentang tip-tip atau teknik-teknik penghitungan cepat. Diketahui bahwa karya-karya Apollonius yang hilang seperti: penjabaran nisbah/ratio (Cutting-off Ratio); penjabaran luas (cutting-off of an area); seksi penentu (On Determinate Section); Tangen; titik potong (vergings) dan Plane Loci. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Dari gambaran yang ditulis dari karya-karya Pappus dan para pendahulunya, muncul gagasan, pada abad ke-17, untuk merekonstruksi buku-buku geometri karya matematikawan Yunani kuno yang hilang, dimana makalah karya Apollonius adalah salah satu diantaranya. Kelak karya Apollonius ditemukan oleh para bangsawan Perancis (termasuk Fermat) pada abad 17 yang memberi pengaruh besar bagi para matematikawan Perancis pada umumnya dan Fermat pada khususnya.</span></div>
</span><br />
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong style="color: #333333; font-size: 1em;">Karya puncak, Conics (kerucut)</strong></div>
<span style="color: #333333;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.</span></div>
</span><br />
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong style="color: #333333; font-size: 1em;">Asal-usul nama</strong></div>
<span style="color: #333333;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang. Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih. Parabola yang artinya di samping atau pembanding) tidak mengindikasikan lebih atau kurang. Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.</span></div>
</span><br />
<div style="margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #333333; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; line-height: 22px;"><br /></span></div>
<span style="color: #333333; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">* Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.</span></div>
</span><br />
<div style="color: #444444; font-family: Helvetica, 'Helvetica Neue', Arial, sans-serif; font-size: 1em; line-height: 22px; margin-bottom: 10px; padding: 0px; text-shadow: rgb(251, 251, 251) 0px 1px 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong style="color: #333333; font-size: 1em;">Sumbangsih</strong></div>
<span style="color: #333333;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 1em;">Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes – setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya.</span></div>
</span></div>
cessarhttp://www.blogger.com/profile/02567418122372342032noreply@blogger.com0