Nilai Maksimum-Minimum Fungsi Dua Peubah Tanpa Kendala

Contoh soal penyelesaian

Sebuah tangki air berbentuk balok terbuat dari pelat baja yg bagian atasnya terbuka dipakai untuk penyaringan 256 meter kubik air. Berapa ukuran tangki agar memerlukan sedikit pelat baja pada pembuatannya ?

Penyelesaian :

Diket : V=256 m³

Ditanyakan : Luas permukaan ?

V= 256

p.l.t = 256

t = 256 / (p.l)

L = pl + 2pt + 2lt

Substitusi : L (p.l) = pl + (512/l) + (512 / p)

Syarat titik kritis :

L_p (p,l) = l – (512/p² ) = 0                                       l = 512/p²

L_l (p,l) = p – (512/l²) = 0                                         p = 512/l²

P = 512 / (512/p²)²                                   l = 512 / (512/l²)²                                               t = 256 / pl

 P³ = 512                                                      l³ = 512                                                                  t = 256 / (8.8)

P = 8                                                             l = 8                                                                        t = 4

Uji Optimasi

D(p,l) = (L_pp . L_ll ) – (L_pl)²

               = ( 1024/p³) . (1024/l³) – (1)²

            = 3

Karena D(p,l) > 0 dan L_pp > 0 maka L(p,l) adalah minimum lokal, sehingga memenuhi syarat

Diperoleh p = 8, l = 8, t = 4

L(p,l,t ) = 8.8 + 2.8.4 + 2.8.4

              = 192

Dapat disimpulkan ukuran tangki agar memerlukan sedikit pelat baja dalam pembuatannya adalah 192 meter persegi.